概要
一个简单的符号游戏如何揭示数学的本质？什么是“同构”？“形式”和“意义”到底是什么纠缠关系？为什么1+1=2？为什么1+1=2是数学的基础？OK，1+1=2，然后呢？量子、数学与人类之间有什么三角关系？
请听本期烧脑。
本期剪辑：小碗
时间戳：
（00:02:05）如果用ChatGPT来解读 “WJU”
（00:12:02）阿基里斯和乌龟又抬杠：芝诺悖论的数学与逻辑延伸
（00:22:58）“pq系统”：这是一个伟大的章节，献给那些不知道“2-1=1”的人
（00:27:09）为什么这么无聊的游戏（pq定理）是一个伟大的定理？
（00:53:35）上帝之问：为什么1+1等于2？
（00:57:30 ）图灵测试：一场主观的“游戏”
（01:06:46）量子、数学与人：人类骨子里就有数学？
文字稿：
1.如果用ChatGPT来解读上一章出现的“WJU”（英文版“MIU”）谜题，它会怎么解释？（00:02:05）
这个谜题在英文版中被称为"MIU"，而在中文版中则被翻译成了"WJU"。ChatGPT如何理解这种差异？它能否理解这些字母背后的隐含意义？
ChatGPT首先准确描述了"MIU"作为形式系统的规则，并解释了为什么无法推导出"MU"——表明它对形式系统的规则和推演过程有着清晰的理解。
再问为什么中文版变成了"WJU"时，ChatGPT声称"WJU"是更适合中国读者的翻译，但无法解释原因。更有趣的是，当用瞎编的"WKV"版本误导ChatGPT时，它竟然毫无保留地接受并应用了这个规则。
测试表明，ChatGPT对形式系统有着强大的掌握能力，能够理解和应用规则，无论字母如何变化。但它无法理解这些字母背后的隐含意义。“MIU”中的每个字母对应着英文单词的首字母，而"WJU"则对应着中文发音——这种人为赋予的意义超出了ChatGPT的理解范围。
这个实验引出了一个深刻的问题：
人工智能如何理解“意义”？AI可以精通形式，但对“意义”的理解仍然是一个巨大的挑战。就像一个精通语法规则的语言模型，却无法理解语言背后的文化和语境。
2. 阿基里斯和乌龟又抬杠：芝诺悖论的数学与逻辑延伸。（00:12:02）
这段抬杠是芝诺悖论在数学和逻辑两个维度上的体现。
故事中，阿基里斯终于追上了乌龟，乌龟却将话题引向了欧几里德定理的逻辑证明。乌龟故意抬杠，表示只接受定理的前提，而不接受推导出的结论。为了说服乌龟，阿基里斯不得不将“接受推导”本身也作为一个前提加入证明。然而，这却掉入了乌龟的陷阱——乌龟故技重施，拒绝接受新的“接受推导”前提，迫使阿基里斯不断添加新的前提，形成了无限循环的逻辑怪圈。
乌龟这种论证方式称为“无限回归”，即一个命题的证明依赖于另一个命题，而这个命题又依赖于另一个命题，无休无止，无法找到最终的起点。
这段对话揭示了数学和逻辑之间微妙的关系。芝诺悖论在数学中可以通过“无穷小”的概念得到解决，因为它与现实世界息息相关。而逻辑上的无限回归却可能永远纠缠不清，无法得出明确结论。
卡罗尔的这段故事以及后续的PQ系统，都在暗示着数学比逻辑更接近真实。我们习惯于依赖逻辑思考，但卡罗尔的故事却提醒我们，逻辑并非完美无缺，甚至可能陷入无限循环的泥潭。相比之下，数学虽然建立在逻辑基础之上，却能够通过与现实世界的联系，找到解决问题的方法，得出更可靠的结论。
这段看似荒诞的对话，实际上引出了GEB这本书的核心议题：数学与逻辑，究竟哪一个更能代表真实？哪一个更能揭示世界的本质？
3. “pq系统”：这是一个伟大的章节，献给那些不知道“2-1=1”的人。（00:22:58）
和上一章的格式类似：本章也介绍了一个形式系统，也是侯世达老师自己的发明，叫做“pq系统：。
这次炫出了“pq谜题”，真的把我绕烦了。（想起百观Robert老师的一句话：阅读GEB越深有感触，这更像是一个青年才俊的一个上头的炫技项目）——仔细想想颇有道理，所以还是不要纠结内容细节罢。
用我自己的小白语言简单解释一下“pq系统”：
·比如Will老师设计了一套符号游戏，游戏中有三个符号：“p”代表“加”（plus）；“q”代表“等于”（equal）；“-”代表数字（1）。
·然后Will老师用这些符号写了一个符号串：“--p---q-----”，也就是“2 + 3 = 5”，这是数学中的加法，是有意义的。
·我觉得我也行，于是给符号取了新的意意义：“p”代表“开心”，“q”代表“马”，“-”代表“苹果”。于是上面同样的符号串，解释就变成了：“两个苹果开心三个苹果马五个苹果”——听起来就是喝醉了的胡说八道，没有任何数学意义。Will老师的设计就是有意义的解释；而我设计的就是无意义的解释。
·如果把这些符号都换一种意义：“q”代表“减”；“p”代表“等于”；“-”代表数字“1”：那新的符号串：“-----q--p---”就是“5减2等于3”，也是一个有意义的、真实的数学陈述。
·这说明了啥？符号不是唯一的解释：关键看你给他赋予什么值，能不能解释现实世界。
4.问题来了：为什么这么无聊的游戏（pq定理）是一个伟大的定理？（00:27:09）
这一章可以说是整本书的核心内容之一。
侯世达通过这个看似无聊的系统，试图解释形式与意义之间的关系，这与罗素在《数学原理》中用数百页来证明“1+1=2”有异曲同工之妙。
“pq系统”本质上是一个形式系统，就像MIU或WJU系统一样，它有初始状态和变换规则。这个系统可以自然存在，并能推导出无数包含“-”（横杠）、“P”和“Q”的“定理”。但关键问题在于，这个系统的意义何在？
如果我们将“-”（横杠）解释为数字，P解释为加法，Q解释为等号，那么这个系统就变成了自然数加法系统。但如果我们给它赋予其他含义，比如"苹果开心马"，那么它就失去了数学意义。
这里出现了一个矛盾：形式系统的解释似乎与系统本身的推导过程无关，而解释的合理性又需要人来判断，而非系统本身。
这引出了本章最核心的问题：形式与意义之间的关系是什么？侯世达给出的答案是"同构"（isomorphism）。当我们能够在形式与意义之间建立同构关系时，我们就给出了形式系统的一种解释。这种解释可能有多种，有些可能有意义，有些可能没有。
从人的角度来看，形式系统是否有意义的关键在于能否建立同构关系。正如侯世达所说，"同构产生意义"（Isomorphism Induces Meaning）。这个看似简单的概念实际上揭示了一个深刻的问题：意义本身如何定义？我们如何确保彼此理解的意义是一致的？
恰恰在这里，形式系统发挥了巨大作用。因为形式系统是客观存在的，我们都能看到相同的符号，所以它可以成为讨论和传播意义的有效工具。这与语言的功能类似，语言本质上也是一种用于交流的形式系统。
所以，这一章虽然内容简短，但涉及的是人类思维的一个永恒话题。在当前人工智能的大讨论中，这个话题又被重新提起。例如，我们在讨论ChatGPT是否真正理解人的思维，还是仅仅在进行形式符号的堆砌时，实际上就是在探讨形式与意义之间的关系。
5. 当我们遇到一个完全陌生的形式系统，并希望发现其中隐藏的含义时，该如何行动？（00:39:36）
答案是：找几个符号，并为每个符号赋予有意义的解释。这意味着要在"陈述"和"定理"之间建立一个更高层次的对应关系，就像为想要解决的问题找到一个更高层次、更抽象的“平行宇宙”。目标是让这个抽象世界能够反映或"同构"出现实世界。
在这个过程中，选择什么符号，以及使用什么规则都是有高度目的性的。就像侯世达设计的pq系统一样，同构并非偶然发生，而是因为他有意设计了一种通过符号形式反映加减法的方法。一旦这个符号世界被创造出来，它就与现实世界或数学世界独立存在。即使我们不知道2加1等于3，"--q-p-"在这个游戏中依然是一个有效的定理。
"同构"在GEB中定义是：保存信息的变换。两个复杂结构可以互相映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。
这里"相应"的意思是：在各自的结构中，相应的两个部分起着相类似的作用。到现在为止，我们已经在这几章中看到很多例子了：三部创意曲、巴赫的音乐、pq/wu游戏和形式系统。
换成人类语言理解：两个东西像照镜子一样，形状可以不一样，但里面的结构一模一样。比如，把巴赫的音乐和三部创意曲比喻成两幅图画，音乐中的和弦和色彩学中的色彩搭配，虽然一个是声音，一个是颜色，但它们在给人的感觉上可能是一致的。一个公司的组织架构和一棵树的结构，虽然完全不同的领域，但是结构上却相似。
问题的表象下隐藏着与之同构的理论实质。我们需要了解抽象的本质，而不仅仅是现象。在符号传播意义的过程中，某些符号的"能指"和"所指"之间的"意指关系"具有唯一性和固定不变的特性。
这意味着某些符号的社会意义不可随意变更，是唯一的，是被意识形态强制赋予的。公众往往不会留意这个意义是如何产生的，而是直接认同了这个意义，并将之视为"自然而然"的社会法则。
6. 说到“自然而然”的“强制法则”，我们就来到了那个上帝之问：为什么1+1等于2？（00:53:35）
为什么1+1=2？而不是34567呢？我们从小就知道一个苹果加一个苹果等于两个苹果，但为什么"1"可以代表一个苹果？为什么"+"可以代表把两个东西放在一起？为什么两个"1"放在一起就变成了"2"？
这就涉及到了数学的基础问题。
在数学世界里，我们需要一些基本的规则。规则就是不需要证明的公理，就像数学世界里的"自然规律"，我们必须相信它们总是成立的。根据这些公理进行逻辑推理，推理的结果就上升为定理。
例如，要证明1+1=2，我们首先需要对1和2，也就是自然数给出定义，比如意大利数学家皮亚诺为了对自然数给出严格的定义，给出了5条公理。然后，我们需要给"+"一个定义，说明什么是加法。
这种严谨的数学推导过程可能会给人一种"数学就是不好好说话"的感觉。但实际上，这种严谨性是必要的。1、2、加减乘除运算在数学上都是抽象的概念，必须从逻辑的角度出发去证明。罗素和怀德海在《数学原理》中耗费了大量篇幅来证明这些看似简单的概念，他们的工作看似没有什么意义，实际上夯实了现代数学大厦的稳固性。
数学家们一直在探索一个"理想的数字世界"，在这个世界里，数字和规则都是完美无缺的。他们想知道，我们能否用符号和规则完全地描述这个理想的数字世界。
这种追求严谨和基础的方法，体现了数学思维的独特之处，也揭示了许多看似简单的问题实际上包含了非常复杂的内核。无论是多么小的问题，都有探究它的意义。
7.图灵测试：一场主观的“游戏” （00:57:30）
图灵测试是一个广为人知的概念，简单来说，就是让专家去问问题，然后判断回答的是人还是机器。这个测试本身值得仔细琢磨，它真的客观吗？
图灵测试实际上给出了人工智能的一个定义角度：如果大部分人认为是这么回事，它就是这么回事。如果大家都觉得它有人的智能，那它就有。
换句话说，我们无法用公式或者代码来定义什么是人工智能，因为一旦我们能做到，那就等于已经创造出人工智能了。所以人工智能能否实现，是无法确定的，因为它不能被形式化定义。如果能，那这个描述本身就已经实现了智能。
这意味着智能这个概念只能由人来判断，它不是一个客观的形式化标准。因此，讨论某个系统是否实现了人工智能本身是没有意义的，因为最终还是需要人的主观判断。意义永远只存在于人的思维中，而不在机器那边。
8. 形式与意义的无尽追逐：谁才是最终的解释者？（01:00:02）
数学中有一个分支叫做模型论，它研究的是如何解释形式系统。这听起来像是一个悖论：如果解释本身也能被形式化，那它不就又变成了另一个需要被解释的形式系统了吗？如果解释也能被形式化，那它还是个形式系统，哪来的解释？
模型论得出了一个有趣的结论：没有任何形式系统能够完全准确地描述数学本身。任何试图定义数学的形式系统，都至少会有两种解释：一种是我们熟悉的数学，而另一种则是未知的。这就像是一个永远无法逃脱的怪圈，形式系统无法完全定义自身的意义。
哥德尔不完备性定理也揭示了类似的困境：任何足够复杂的逻辑系统都无法证明自身所有为真的命题。这意味着，形式系统永远无法完全捕捉到人类思维的全部内容。
那么，谁才是最终的解释者呢？现代数学和逻辑学似乎都指向了一个答案：人类。只有人类拥有赋予一切以意义的能力；只有人才拥有对一切的解释权。这是一个循环的怪圈，也是GEB这本书想要探讨的核心问题。
更深一层思考，"重构"或许才是世界运行的底层逻辑。如果世界不能被不断地重新解释、重新定义，那么存在本身就失去了意义。重构甚至可能比存在和意识更为 fundamental，因为我们对世界的所有认知，本质上都是对存在和意识的不断重构。
人工智能试图用一系列形式化的规则来模拟人类思维的灵活性。然而，规则本身是僵化、死板的。为了让机器更像人，我们就需要不断地添加新的规则，形成层层嵌套的复杂结构。但这又引发了一个新的问题：这些规则的最终来源是什么？
或许，智能的本质是一个能够包含并改变自身规则的循环系统。只有当机器能够像人类一样，不断地反思、质疑和重构自身的规则时，才有可能真正接近人类智能的奥秘。
9. 量子、数学与人：生命本质的三角迷思（01:06:46）
薛定谔提出了一个引人深思的观点：生命本质上是一种量子现象。这一想法将微观世界的奥秘与人类的存在紧密联系在一起。
量子力学在微观世界展现出惊人的数学性质，甚至挑战了我们对客观实在的理解。量子似乎决定了生命的存在，包括人类。
这个观点引发了一个有趣的思考：为什么人类能够理解和运用数学？也许是因为量子决定了我们的存在，而量子本身又遵循着独特的数学规律。这就像是一个精妙的循环，量子、数学与人类形成了一个相互关联的三角关系。
这种关系可能解释了为什么人类似乎天生就具有数字概念。我们对数学的直觉可能不仅仅是文化习得的结果，而是反映了更深层次的宇宙规律。
人类骨子里就有数字，这或许就是客观世界的规律。
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